Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponensial. Dalam bentuk umum, logaritma didefinisikan sebagai:
\(\displaystyle \log_b a = c \iff b^c = a\)
Di mana:
Baca juga:
- \(a\) adalah bilangan yang dicari logaritmanya.
- \(b\) adalah basis atau bilangan pokok logaritma.
- \(c\) adalah hasil logaritma.
Sebagai contoh:
\(\displaystyle {{\log }_{2}}8=3\)
Karena \(2^3 = 8\).
Sifat-Sifat Logaritma
1. Logaritma dari Perkalian
\(\displaystyle \log_b (A \cdot B) = \log_b A + \log_b B\)
Contoh:
\(\displaystyle \log_2 (8 \times 4) = \log_2 8 + \log_2 4\)
\(\displaystyle = 3 + 2 = 5\)
Karena \(8 \times 4 = 32\) dan \(2^5 = 32\).
2. Logaritma dari Pembagian
\(\displaystyle \log_b \left( \frac{A}{B} \right) = \log_b A – \log_b B\)
Contoh:
\(\displaystyle \log_3 \left( \frac{27}{3} \right) = \log_3 27 – \log_3 3\)
\(\displaystyle = 3 – 1 = 2\)
Karena \(3^3 = 27\) dan \(3^1 = 3\).
3. Logaritma dari Perpangkatan
\(\displaystyle \log_b A^n = n \cdot \log_b A\)
Contoh:
\(\displaystyle \log_5 25 = \log_5 (5^2)\)
\(\displaystyle = 2 \cdot \log_5 5 = 2 \times 1 = 2\)
Karena \(5^2 = 25\).
4. Logaritma Basis Berubah
\(\displaystyle \log_b A = \frac{\log_c A}{\log_c b}\)
Contoh:
\(\displaystyle \log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}\)
Menggunakan kalkulator:
\(\displaystyle \log_2 8 = \frac{0.903}{0.301} = 3\)
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Menyederhanakan Logaritma
Sederhanakan ekspresi berikut:
\(\displaystyle \log_3 81 + \log_3 9\)
Pembahasan:
\(\displaystyle \log_3 81 = 4\) karena \(3^4 = 81\)
\(\displaystyle \log_3 9 = 2\) karena \(3^2 = 9\)
\(\displaystyle \log_3 81 + \log_3 9 = 4 + 2 = 6\)
Contoh Soal 2: Menentukan Nilai Logaritma
Hitung nilai dari \(\displaystyle \log_5 125\).
Pembahasan:
\(\displaystyle \log_5 125 = \log_5 (5^3)\)
\(\displaystyle = 3 \cdot \log_5 5\)
\(\displaystyle = 3 \times 1 = 3\)
Contoh Soal 3: Logaritma dengan Basis Berbeda
Hitung nilai dari \(\displaystyle \log_2 32\) menggunakan perubahan basis.
Pembahasan:
Gunakan rumus perubahan basis:
\(\displaystyle \log_2 32 = \frac{\log_{10} 32}{\log_{10} 2}\)
Diketahui:
\(\displaystyle \log_{10} 32 \approx 1.505\) dan \(\displaystyle \log_{10} 2 \approx 0.301\)
\(\displaystyle \log_2 32 = \frac{1.505}{0.301} = 5\)
Karena \(2^5 = 32\), maka hasilnya benar.
Logaritma adalah konsep matematika yang sangat berguna, terutama dalam perhitungan eksponensial. Sifat-sifat logaritma seperti perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perubahan basis sangat membantu dalam menyederhanakan perhitungan. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menyelesaikan berbagai soal logaritma dengan lebih mudah dan efisien.
