Cara Mudah Memahami Prinsip Sarang Merpati dalam Matematika

Zodiak yang kita kenal terdiri dari 12 jenis, sesuai dengan pembagian bulan dalam satu tahun. Ketika kita memilih 12 siswa secara acak, ada kemungkinan bahwa masing-masing siswa memiliki zodiak yang berbeda. Namun, jika jumlah siswa yang dipilih bertambah menjadi 13, maka dapat dipastikan setidaknya dua siswa akan memiliki zodiak yang sama.

Hal ini terjadi karena terbatasnya jumlah zodiak. Dalam situasi ini, zodiak berfungsi sebagai kategori atau “wadah,” sementara siswa adalah “objek” yang dimasukkan ke dalam wadah tersebut. Jika jumlah siswa sama dengan jumlah zodiak, masih memungkinkan bahwa setiap zodiak terisi oleh satu siswa saja, tergantung pada variasi tanggal lahir. Namun, begitu jumlah siswa melebihi jumlah zodiak, misalnya menjadi 13, setidaknya ada satu zodiak yang akan dihuni oleh lebih dari satu siswa.

Logika ini dikenal sebagai prinsip sarang merpati (pigeonhole principle). Prinsip ini menyatakan bahwa jika jumlah objek (dalam hal ini siswa) lebih banyak daripada jumlah kategori atau wadah yang tersedia (yaitu zodiak), maka setidaknya ada satu kategori yang berisi lebih dari satu objek. Dalam contoh ini, zodiak berjumlah 12, sehingga jika ada 13 siswa, minimal ada dua siswa yang memiliki zodiak yang sama.

Situasi ini menggambarkan penerapan praktis prinsip sarang merpati dalam kehidupan sehari-hari. Meskipun sederhana, konsep ini memiliki kepastian logis yang tidak terbantahkan. Kita tidak perlu mengetahui tanggal lahir atau zodiak setiap siswa untuk memastikan bahwa ketika jumlah siswa lebih banyak dari jumlah zodiak, akan ada zodiak yang berulang.

Contoh ini menunjukkan bahwa prinsip ini sangat efektif dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan pengelompokan objek ke dalam kategori terbatas. Prinsip sarang merpati juga banyak digunakan dalam matematika, ilmu komputer, dan logika untuk membuktikan pernyataan tentang pengelompokan atau pengaturan elemen.

Kesimpulannya, jika kita memiliki 13 siswa dalam kelompok, kita dapat yakin bahwa minimal dua dari mereka memiliki zodiak yang sama, karena jumlah siswa telah melampaui jumlah zodiak yang tersedia. Prinsip ini menjadi bukti sederhana namun kuat dari bagaimana keterbatasan kategori menghasilkan pola yang pasti.

Untuk memastikan ada 4 orang dengan tanggal lahir yang sama, kita dapat menggunakan prinsip sarang merpati (pigeonhole principle). Dalam hal ini, tanggal lahir dimulai dari tanggal 1 hingga 31, sehingga ada 31 sarang (hari dalam sebulan) yang menjadi “wadah,” dan jumlah orang yang kita pilih menjadi “merpati.”

Jika kita ingin menghindari adanya 4 orang yang berbagi tanggal lahir yang sama, maka maksimal hanya ada 3 orang untuk setiap tanggal. Dengan demikian, jumlah maksimal orang yang bisa kita pilih tanpa memastikan ada 4 orang yang berbagi tanggal lahir adalah:

$$3 \times 31 = 93$$

Artinya, dengan memilih 93 orang, masih memungkinkan setiap tanggal memiliki maksimal 3 orang saja.

Namun, jika kita menambahkan 1 orang lagi (sehingga total menjadi 94 orang), maka menurut prinsip sarang merpati, setidaknya ada satu tanggal yang dihuni oleh 4 orang. Ini karena jumlah orang sudah melebihi kapasitas maksimum (93 orang) jika setiap tanggal hanya dihuni oleh 3 orang.

Jumlah orang minimal yang diperlukan untuk memastikan ada 4 orang dengan tanggal lahir yang sama adalah 94 orang. Prinsip ini berlaku karena keterbatasan jumlah tanggal (31) dan kepastian bahwa kelebihan orang akan mengisi tanggal yang sudah dihuni oleh 3 orang.

Contoh ini menunjukkan bagaimana prinsip matematika sederhana dapat memberikan jawaban pasti dalam masalah sehari-hari seperti pembagian tanggal lahir.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan prinsip sarang merpati (pigeonhole principle). Dalam hal ini:

• “Sarang” adalah jumlah tingkat atau jenjang pendidikan di sekolah, yaitu kelas 7, kelas 8, dan kelas 9. Dengan kata lain, ada 3 tingkat.
• “Merpati” adalah jumlah total siswa, yaitu 111 siswa.

Kita ingin mengetahui paling sedikit berapa siswa yang berada pada tingkat yang sama.

Langkah-Langkah:

1. Jika setiap tingkat memiliki jumlah siswa yang merata, maka setiap tingkat dapat menampung:
   $$\frac{111}{3} = 37$$Namun, jika dibagi rata seperti ini, jumlah siswa per tingkat adalah sama, yaitu 37. Tidak ada tingkat dengan lebih banyak siswa.
2. Akan tetapi, soal menanyakan jumlah siswa paling sedikit pada tingkat yang sama. Untuk ini, kita asumsikan pembagian siswa tidak rata:
   • Pada dua tingkat pertama, kita bisa menempatkan 37 siswa masing-masing.
   • Jumlah siswa tersisa adalah:
     $$111 – (37 + 37) = 37$$
3. Dengan demikian, tingkat yang tersisa (tingkat ketiga) juga memiliki 37 siswa.

Karena jumlah siswa 111 terbagi secara merata di 3 tingkat, paling sedikit ada 37 siswa pada setiap tingkat.

Untuk menjawab soal ini, kita menggunakan prinsip sarang merpati (pigeonhole principle). Dalam hal ini:

• “Sarang” adalah jumlah hari dalam seminggu, yaitu 7 hari (Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, dan Minggu).
• “Merpati” adalah jumlah peserta survei, yaitu 1.000 orang.

Kita ingin mengetahui paling sedikit berapa orang yang memiliki hari lahir yang sama.

Langkah-Langkah:

Jika setiap hari memiliki jumlah peserta yang merata, maka jumlah peserta per hari adalah:

$$\frac{1.000}{7} \approx 142,857$$

Karena kita tidak bisa membagi orang dalam bilangan desimal, maka setiap hari dapat menampung 142 orang dengan sisa orang yang belum teralokasi.

Setelah menempatkan 142 orang per hari selama 7 hari, jumlah peserta yang sudah ditempatkan adalah:

$$142 \times 7 = 994$$

Ini berarti masih ada 1.000 – 994 = 6 orang yang tersisa.

Keenam orang yang tersisa harus ditempatkan ke salah satu dari 7 hari tersebut, sehingga minimal satu hari akan memiliki:

$$142 + 1 = 143 \text{ orang.}$$